京大数学で満点を取って合格したプロ講師の視点から、本問（2008年 京都大学 理系第4問）を突破するための本格的な思考プロセスと完全解答・解説を全力でお届けします！
【問題】（2008年 京都大学 理系第4問）
定数 $$a$$ は実数であるとする。関数 $$y=\vert{}x^2-2\vert{}$$ と $$y=2x^2+ax-1=0$$ を満たす実数 $$x$$ はいくつあるか。$$a$$ の値によって分類せよ。
（※問題文の末尾は「$$y=\vert{}x^2-2\vert{}$$ と $$2x^2+ax-1=0$$」または「$$y=\vert{}x^2-2\vert{}$$ と $$y=2x^2+ax-1$$ の連立方程式」を意味しており、要するに 方程式 $$\vert{}x^2-2\vert{} = 2x^2+ax-1$$ の実数解 $$x$$ の個数 を $$a$$ の値で分類して求める問題です）
1. 現場での第一印象と「実験（試行錯誤）」
注目すべき点・キーワード
- 絶対値記号 $$\vert{}x^2-2\vert{}$$：場合分け（$$\vert{}x^2-2\vert{} \ge \sqrt{2}$$ または $$\vert{}x^2-2\vert{} < \sqrt{2}$$）の必要性を示唆。
- 定数 $$a$$：$$1$$ 次の項の係数についているため、定数分離が極めて容易（$$a =$$ の形に直せる）。
- 実数解の個数：グラフの共有点の個数に言い換えるのが基本方針。
初見での実験・状況把握
「絶対値と定数 $$a$$ が混ざっていて扱いづらいな……」と感じたら、まずは「定数 $$a$$ を分離して、どんな関数と直線 $$y=a$$ の共有点問題に帰着できるか」を式変形で確認します。
$$$$\vert{}x^2-2\vert{} = 2x^2 + ax – 1$$$$
$$$$ax = \vert{}x^2-2\vert{} – 2x^2 + 1$$$$
ここで $$x \neq 0$$ かどうかをチェックしましょう。
$$x=0$$ を代入すると、$$\text{LHS} = 0$$、$$\text{RHS} = \vert{}-2\vert{} – 0 + 1 = 3 \neq 0$$ となり、$$x=0$$ は解を持ちません。
したがって、両辺を $$x$$ で割ることができ、
$$a = \frac{\vert{}x^2-2\vert{} – 2x^2 + 1}{x}$$
と変形できます。つまり、「$$y = f(x) = \frac{\vert{}x^2-2\vert{} – 2x^2 + 1}{x}$$ のグラフと、水平な直線 $$y = a$$ の共有点の個数を数える問題」に完全にすり替えることができるのです！
ありがちな不適切な方針：絶対値の外し分けによる2つの2次方程式の判別式
- $$x^2-2 \ge 0$$ ($$x \le -\sqrt{2}, \sqrt{2} \le x$$) のとき：
$$x^2-2 = 2x^2+ax-1 \iff x^2 + ax + 1 = 0$$
- $$x^2-2 < 0$$ ($$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$$) のとき：
$$-(x^2-2) = 2x^2+ax-1 \iff 3x^2 + ax – 3 = 0$$
なぜこの方針で行き詰まるのか？
「判別式 $$D > 0$$」だけで安心してしまうと、**「その解が解の存在する $$x$$ の範囲（例：$$x \le -\sqrt{2}$$ や $$\sqrt{2} \le x$$）にちゃんと入っているか」**という軸の位置・端点での値（解の配置問題）の条件が複雑極まりなくなります。さらに $$a$$ の変化に伴って軸が動き、計算が非常に煩雑になって現場で自滅します。
2. 解法の決定（アプローチの比較）
| アプローチ | 計算量 | 発想の再現性 | 評価 |
| A: 場合分け＋解の配置 | 非常に甚大（範囲ごとの解の存在判定で軸分けが大量に発生） | 低い（条件漏れを起こしやすい） | ✕（危険） |
| B: 2次関数と絶対値関数のグラフの交点（幾何的評価） | 中（$$a$$ が動くので放物線群の動きを追うのが難しい） | 中 | △ |
| C: 完全な定数分離（$$y = f(x)$$ と $$y = a$$ の共有点） | 小〜中（微分してグラフを描くだけ） | 極めて高い（機械的に解ける） | ◎（現場の最適解） |
最適解の理由
定数分離（アプローチC）を行えば、$$a$$ の影響を直線 $$y=a$$ という「水平移動する直線」だけに閉じ込めることができます。関数 $$f(x)$$ のグラフさえ正確に描ければ、あとは $$a$$ を上から下にスライドさせるだけで一発で個数が視覚的に分かります。京大試験場での焦りを防ぐ、最も確実で再現性の高い手法です。
3. 減点を防ぐ「完全答案」
【解答本文】
与えられた方程式は
$$$$\vert{}x^2-2\vert{} = 2x^2 + ax – 1 \quad \dots \text{(1)}$$$$
である。
$$x = 0$$ のとき、(1) は $$\vert{} -2 \vert{} = -1$$ となり不成立。よって $$x \neq 0$$ である。
したがって、(1) は
$$$$a = \frac{\vert{}x^2-2\vert{} – 2x^2 + 1}{x} \quad \dots \text{(2)}$$$$
と同値である。
＞ 注釈（京大ポイント）： $$x=0$$ が解でないことを明記した上で $$x$$ で割る記述を怠ると、同値性が崩れて大きな減点対象になります。
ここで、関数 $$f(x) = \frac{\vert{}x^2-2\vert{} – 2x^2 + 1}{x}$$ ($$x \neq 0$$) と置く。
絶対値記号を外すために、$$x$$ の範囲で場合分けを行う。
[1] $$\vert{}x\vert{} \ge \sqrt{2}$$ （すなわち $$x \le -\sqrt{2}, \sqrt{2} \le x$$）のとき
$$\vert{}x^2-2\vert{} = x^2 – 2$$ より、
$$$$f(x) = \frac{(x^2 – 2) – 2x^2 + 1}{x} = \frac{-x^2 – 1}{x} = -x – \frac{1}{x}$$$$
微分すると、
$$$$f'(x) = -1 + \frac{1}{x^2} = \frac{1 – x^2}{x^2}$$$$
$$\vert{}x\vert{} \ge \sqrt{2}$$ において $$1 – x^2 \le 1 – 2 = -1 < 0$$ であるから、常に $$f'(x) < 0$$ となり、$$f(x)$$ は単調減少する。
端点での値および極限：
- $$f(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} – \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
- $$f(-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
- $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$$
[2] $$0 < \vert{}x\vert{} < \sqrt{2}$$ （すなわち $$-\sqrt{2} < x < 0$$ または $$0 < x < \sqrt{2}$$）のとき
$$\vert{}x^2-2\vert{} = -(x^2 – 2)$$ より、
$$$$f(x) = \frac{-(x^2 – 2) – 2x^2 + 1}{x} = \frac{-3x^2 + 3}{x} = -3x + \frac{3}{x}$$$$
微分すると、
$$$$f'(x) = -3 – \frac{3}{x^2} = -3 \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) < 0$$$$
よって、$$0 < \vert{}x\vert{} < \sqrt{2}$$ の範囲においても $$f(x)$$ は単調減少する。
端点付近の極限・極限値：
- $$\lim_{x \to \sqrt{2}-0} f(x) = -3\sqrt{2} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
- $$\lim_{x \to -\sqrt{2}+0} f(x) = 3\sqrt{2} – \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
- $$\lim_{x \to +0} f(x) = +\infty$$
- $$\lim_{x \to -0} f(x) = -\infty$$
＞ 注釈（京大ポイント）： $$x = \pm \sqrt{2}$$ の前後で関数がなめらかに繋がっているか（連続性および値の一致）を明記することが不可欠です。本問では $$f(\sqrt{2}) = \lim_{x \to \sqrt{2}-0} f(x) = -\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ と一致するため、全領域で連続です。
[1], [2] をまとめると
$$f(x)$$ は $$x < 0$$ および $$x > 0$$ のそれぞれの区間で常に単調減少する連続関数である。
- $$x > 0$$ の領域における挙動：
$$\lim_{x \to +0} f(x) = +\infty$$ からスタートし、$$x \to \infty$$ で $$f(x) \to -\infty$$ へと一調に減少する。
したがって、任意の解 $$a \in \mathbb{R}$$ に対して、$$x > 0$$ には常にちょうど1つの解が存在する。
- $$x < 0$$ の領域における挙動：
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$$ からスタートし、$$x \to -0$$ で $$f(x) \to -\infty$$ へと一調に減少する。
したがって、任意の解 $$a \in \mathbb{R}$$ に対して、$$x < 0$$ には常にちょうど1つの解が存在する。
結論
直線 $$y = a$$ と $$y = f(x)$$ の共有点の個数は、$$a$$ の値によらず：
- $$x > 0$$ の領域で $$1$$ 個
- $$x < 0$$ の領域で $$1$$ 個
よって、求める解の個数は $$a$$ の値に関わらず常に 2 個 である。
4. 【罠に注意】受験生がやりがちな「減点答案」添削
典型的な「減点・不完全答案例」
（不完全答案）
$$\vert{}x^2-2\vert{} = 2x^2+ax-1$$ を解く。
[1] $$x^2 \ge 2$$ のとき：
$$x^2-2 = 2x^2+ax-1 \implies x^2+ax+1=0$$
判別式 $$D_1 = a^2 – 4 > 0 \implies \vert{}a\vert{} > 2$$ で解2個。
[2] $$x^2 < 2$$ のとき：
$$-x^2+2 = 2x^2+ax-1 \implies 3x^2+ax-3=0$$
判別式 $$D_2 = a^2 + 36 > 0$$ は常に成り立つので解2個。
よって、合わせて解は 4 個（または $$a$$ によって変わる）。
採点官の目線＆減点理由（ここが大減点！）
- 「解の範囲チェック」の全無視：
判別式 $$D_1 > 0$$ で出てきた解が、本当に「$$x^2 \ge 2$$」を満たしているかを全く考慮していません。方程式の解が条件の範囲外にあれば、それは不適解（無効）となります。
- $$x=0$$ 除外の不備がない定数分離の失敗：
上記のように場合分けでゴリ押そうとすると、範囲外の解の判定が不可能に近くなり、破綻します。
- 減点レベル：
京大の採点では、同値性・論理の破綻は厳しくチェックされます。この答案の場合、必要条件と十分条件の区別がついていないため、25点満点中 3〜5点（ほとんど点数が与えられない） となる可能性が高いです。
5. この問題から得られる「京大数学の鉄則」
【京大数学の鉄則】
定数 $$a$$ が 1 次の項に孤立しているなら、$$x$$ で割って「完全定数分離」に持ち込め！
「判別式の罠」に惑わされず、微分の力でグラフの全貌を捉えるべし。
方程式の実数解の個数問題で、定数 $$a$$ が $$ax$$ のように1次の項にある場合、「$$x$$ で割るとグラフ描画の微分問題になる」というのは非常に強力な定石です。 $$x=0$$ の確認さえ忘れなければ、どんなにややこしい絶対値や関数が含まれていても、「単なる関数のグラフと直線 $$y=a$$ の交点判定」へと昇華させることができます！
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